非线性微分方程的线性化

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为什么要进行线性化？ 严格的说，几乎所有元件或系统的运动方程都是非线性方程， 即输入、输出和扰动等之间的关系都是非线性的。 非线性微分方程的求解和控制系统性能研究非常复杂，而线性化后的模型可借助叠加原理的性质，简化系统分析。 因此，研究非线性微分方程的线性化具有较强的工程实用价 值。 什么是非线性数学模型的线性化？ 在一定的条件下或在一定范围内把非线性的数学模型化为线 性模型的处理方法。 符合什么条件的系统可以进行线性化呢？ 条件1: 小偏差理论或小信号理论。在工程实践中，控制 系统都有一个额定的工作状态和工作点，当变量在工作点(如液位保持不变) 附近作小范围的变化时，就满足这个条件。 （这个条件保证线性化的误差足够小。） 条件2: 在工作点附近存在各阶导数或偏导数

如何进行线性化 假设微分方程模型中包含非线性函数 f ( x ) f(x) f(x)如图 所示。设 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)，假设系统在工作点 ( x 0 , y 0 ) (x0, y0) (x0,y0), y 0 = f ( x 0 ) y0=f(x0) y0=f(x0) 附近变化(条件一)，且在该工作点处各阶导数 均存在（条件二）,

在 ( x 0 , y 0 ) (x0, y0) (x0,y0)附近将 y y y展开成泰勒级数： 若偏差 Δ x = x − x 0 Δx=x-x0 Δx=x−x0很小，可忽略级数中高阶无穷小项，上式化为 : 为了得到线性化的模型，选择输入的偏差 Δ x = x − x 0 \Delta x=x-x_0 Δx=x−x0​和输出的偏差 Δ y = f ( x ) − f ( x 0 ) \Delta y=f(x)-f(x_0) Δy=f(x)−f(x0​)为变量，得到关于偏差的方程 K K K表示 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)曲线在 ( x 0 , y 0 ) (x0,y0) (x0,y0)处切线的斜率。因此非线性函数在工 作点处可以用该点的切线方程线性化。

线性化方法： 小偏差法：在给定工作点的邻域将非线性函数展开为泰 勒级数，忽略级数中的高阶项，得到只包含偏差的一次项的线性方程。

线性化例子：液位流体过程。 如图，Q1为流入量， 也是输入量；Q2为流出量；h为液 位高度，为系统输出；C为液缸的 截面积。 工作点附近做微小变化，满足小偏差理论。

ps:设非线性项设为 F F F展开。h0为常数，导数为0

线性化例2（两个变量）：

在处理线性化问题时，需要注意以下几点：